【常用函數泰勒展開公式】在數學分析中，泰勒展開是一種將函數表示為無窮級數的方法，廣泛應用于近似計算、數值分析和物理建模等領域。泰勒展開的核心思想是用多項式來逼近一個光滑函數，其形式為：
$$
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n
$$
其中 $ a $ 是展開點，$ f^{(n)}(a) $ 表示函數在 $ a $ 處的第 $ n $ 階導數。若 $ a = 0 $，則稱為麥克勞林展開。
以下是一些常見函數的泰勒展開公式（以 $ x = 0 $ 為展開點）的總結：
| 函數 | 泰勒展開式（x=0） | 收斂區間 | ||
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + \cdots $ | $ (-1, 1] $ | ||
| $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + \cdots $ | $ [-1, 1] $ | ||
| $ \arcsin x $ | $ x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x^5}{5} + \cdots $ | $ [-1, 1] $ | ||
| $ (1+x)^k $ | $ 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \cdots $ | $ | x | < 1 $（當 $ k $ 為非整數時） |
以上公式適用于不同的應用場景，例如在微分方程求解、極限計算或工程中的近似計算中非常有用。需要注意的是，某些函數的泰勒展開只在特定區間內有效，因此在使用時應結合實際問題判斷是否適用。
掌握這些基本的泰勒展開公式，有助于提升對函數行為的理解，并為后續更復雜的數學分析打下堅實基礎。
