【三角函數公式表】三角函數是數學中重要的基礎內容，廣泛應用于幾何、物理、工程等多個領域。掌握常見的三角函數公式，有助于快速解題和理解相關概念。以下是對常見三角函數公式的總結，并以表格形式呈現，便于查閱與記憶。
一、基本定義
| 函數名稱 | 符號 | 定義（在直角三角形中） |
| 正弦 | sin | 對邊 / 斜邊 |
| 余弦 | cos | 鄰邊 / 斜邊 |
| 正切 | tan | 對邊 / 鄰邊 |
| 余切 | cot | 鄰邊 / 對邊 |
| 正割 | sec | 斜邊 / 鄰邊 |
| 余割 | csc | 斜邊 / 對邊 |
二、常用恒等式
| 公式 | 內容 |
| 基本關系 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $ $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
| 倒數關系 | $ \sin\theta = \frac{1}{\csc\theta} $ $ \cos\theta = \frac{1}{\sec\theta} $ $ \tan\theta = \frac{1}{\cot\theta} $ |
| 商數關系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $ $ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $ |
三、誘導公式（角度轉換）
| 角度變換 | 公式 |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(2\pi - \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(2\pi - \theta) $ | $ \cos\theta $ |
四、和差角公式
| 公式 | 內容 |
| 正弦和差 | $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ |
| 余弦和差 | $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ |
| 正切和差 | $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ |
五、倍角公式
| 公式 | 內容 |
| 正弦倍角 | $ \sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta $ |
| 余弦倍角 | $ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta $ $ = 2\cos^2\theta - 1 $ $ = 1 - 2\sin^2\theta $ |
| 正切倍角 | $ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
六、半角公式
| 公式 | 內容 |
| 正弦半角 | $ \sin\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| 余弦半角 | $ \cos\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| 正切半角 | $ \tan\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}} $ $ = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} $ |
七、積化和差公式
| 公式 | 內容 |
| $ \sin A \cos B $ | $ \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)] $ |
| $ \cos A \cos B $ | $ \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A - B)] $ |
| $ \sin A \sin B $ | $ \frac{1}{2}[\cos(A - B) - \cos(A + B)] $ |
八、和差化積公式
| 公式 | 內容 |
| $ \sin A + \sin B $ | $ 2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right) $ |
| $ \sin A - \sin B $ | $ 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right) $ |
| $ \cos A + \cos B $ | $ 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right) $ |
| $ \cos A - \cos B $ | $ -2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right) $ |
總結
以上是三角函數的主要公式，涵蓋了基本定義、恒等式、誘導公式、和差角、倍角、半角、積化和差及和差化積等內容。這些公式是解決三角問題的重要工具，建議結合實際題目進行練習，以加深理解和記憶。
