【哪個函數的導數是arctanx】在微積分的學習中，我們常常需要解決“已知一個函數的導數，求原函數”的問題。今天我們要探討的是：哪個函數的導數是 arctanx？這個問題看似簡單，但背后涉及的知識點不少，包括積分、反三角函數以及分部積分法等。

一、基本思路

我們知道，若函數 $ f(x) $ 的導數為 $ \arctan x $，則 $ f(x) $ 是 $ \arctan x $ 的一個原函數。換句話說，我們需要求：

$$

f(x) = \int \arctan x \, dx

$$

這個積分可以通過分部積分法來完成。

二、分部積分法求解

設：

- $ u = \arctan x $，則 $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $

- $ dv = dx $，則 $ v = x $

根據分部積分公式：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

代入得：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

接下來計算第二項積分：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

令 $ t = 1 + x^2 $，則 $ dt = 2x dx $，即 $ x dx = \frac{dt}{2} $，因此：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \ln t + C = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

所以，

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

三、總結

通過上述推導，我們可以得出結論：函數 $ x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) $ 的導數是 $ \arctan x $。

以下是關鍵信息的總結表格：

四、拓展思考

雖然我們找到了一個具體的原函數，但要注意的是，所有滿足導數為 $ \arctan x $ 的函數都可以表示為該函數加上一個常數，即：

$$

f(x) = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

這體現了不定積分的特性——原函數不唯一，但相差一個常數。

五、結語

通過本篇文章，我們不僅解答了“哪個函數的導數是 arctanx”這一問題，還學習了如何利用分部積分法進行復雜函數的積分運算。理解這些方法有助于我們在今后的學習中更靈活地處理各種類型的積分問題。