【導數為arctanx的原函數】在微積分中，求一個函數的原函數，即求其不定積分。當我們知道一個函數的導數是 arctanx 時，我們需要找到一個函數 F(x)，使得 F’(x) = arctanx。這個過程也稱為反向求導。

為了更清晰地展示這一過程，以下是對“導數為 arctanx 的原函數”的總結與分析：

一、基本概念

- 原函數：若 F’(x) = f(x)，則稱 F(x) 是 f(x) 的一個原函數。

- 不定積分：∫f(x) dx = F(x) + C，其中 C 是積分常數。

本題要求的是：

$$

\int \arctan x \, dx

$$

二、求解方法

使用分部積分法（Integration by Parts）：

設：

- u = arctanx ? du = $\frac{1}{1 + x^2} dx$

- dv = dx ? v = x

根據分部積分公式：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

代入得：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

接下來計算第二個積分：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

令 t = 1 + x2 ? dt = 2x dx ? x dx = $\frac{1}{2} dt$

所以：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \lnt + C = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

最終結果為：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

三、總結表格

四、結論

通過分部積分法，我們得出：

導數為 arctanx 的原函數是

$$

x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

該函數滿足 F’(x) = arctanx，因此是正確的原函數。

如需進一步探討其他函數的原函數或應用實例，可繼續提問。